§3−3 澳门美高梅官网 (甲)澳门美高梅官网 (1)双人用的角公式: 和角公式: sin(α +β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ, α=β=θ , 可获 sin2θ=2⋅sinθ⋅cosθ 和角公式: cos(α +β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ, α=β=θ , 可获 cos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ 和角公式: tan(α +β)= tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ, α=β=θ , 可获 tan2θ= 2tanθ1−tan2θ [正文]: 地面公式(b) cos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ, 人所共知,θ的无是已知的。 值、 余弦值, 可获 2θ 的余弦值。 在另一方面, 若已知α的余弦值, 可以记录α2的无值。、 余弦值。 拿 ... 来说: 已知 cosθ=23, 請求出 cos2θ=? 根據 cos2θ=2cos2θ−1=2(23)2−1=−13, 試求 sinα9 已知 0<α<π2, 且 cosα=22=? 根據(b)令 2θ=α, 可获 cosα=2cos2α2 − 1 所以 cos2α2=56 ⇒cosα2 = ±56 ⇒ cosα2 = 56 結論: 我們整理澳门美高梅官网如下: (a)sin2θ=2⋅sinθ⋅cosθ (b)cos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ (c)tan2θ= 2tanθ1−tan2θ (d) cosα=2cos2α2 − 1=1−2sin2α , sin2θ=1−cos2θ2 (e)cos2θ= 1+cos2θ22 (2)以正切表示双人用的角 sin2θ= 2tanθ1+tan2θ 證明: sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθ cos2θ =2tanθ(1sec2θ) =2tanθ1+tan2θ cos2θ= 1−tan2θ1+tan2θ 證明: cos2θ=2cos2θ−1 =2sec2θ −1 = 21+tan2θ −1 =1−tan2θ1+tan2θ 結論: 利用 tanθ可以將 sin2θ, cos2θ, tan2θ表示出來, 整理如下: (a) sin2θ= 2tanθ1+tan2θ (b) cos2θ= 1−tan2θ1+tan2θ (c) tan2θ= 2tanθ1−tan2θ [討論]: 利用 tanθ 來表示 sin2θ、 cos2θ、 tan2θ, 主要是將 sinθ、 cosθ、 tanθ表示成分式的形式, 即 sinθ =2t應用於求某些三角函數的積分。 (3)三澳门美高梅官网 (a)sin3θ= 3sinθ −4sin3θ 證明: sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ =sinθ(1−2sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ) = sinθ(1−2sin2θ)+2sinθcos2θ = sinθ(1−2sin2θ)+2sinθ(1−sin2θ) = 3sinθ −4sin3θ (b)cos3θ=4cos3θ −3cosθ 證明: cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ−sinθsin2θ =cosθ(2cos2θ−1)−sinθ(2sinθ cosθ) = cosθ(2cos2θ−1)−2sin2θcosθ = cosθ(2cos2θ−1)−2(1−cos2θ)cosθ 1+t2, cosθ =1−t21+t2, tanθ=2t1−t2, 其中 t=tanθ2為任意實數, 可以 =4cos3θ −3cosθ [例題1] 已知 tanθ=−34且3π25、 tan2θ=−242<θ<2π, 求 cos2θ、 tan2θ、 sinθ7、 sinθ2、 tanθ2 = −12的值。 Ans: cos2θ=72= 110、 tanθ3 [例題2] (1)試求 sinπ8, cosπ8+cos43π8, tanπ8+cos45π8之值。 8+cos47π(2)試求 cos4π8的值。 Ans: (1)222 −,222 +, −1+ 2 (2)32 [例題3] 若 3⋅sin2θ +2cos2θ =3, 求 tanθ 之值。 Ans: 1 或15 [例題4] 設 sin2θ =−3(1)sinθ−cosθ (2)cos4θ −sin4θ (2)tanθ +cotθ (3)sin6θ +cos6θ 58 (2)−4 5,π2<θ <3π4, 試求下列之值: Ans: (1)5 (2)−103 (3)73100 結論: 底下是一些有用的公式: (a)sin2θ=1−cos2θ (b)cos2θ=1−sin2θ (c)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2−2sin2θcos2θ=1−2sin2θcos2θ (d)sin6θ+cos6θ=(sin2θ+cos2θ)3−3sin2θcos2θ( sin2θ+cos2θ)=1−3 sin2θcos2θ 1sinθcosθ = sin2θ (f)(sinθ±cosθ)2= sin2θ+cos2θ±2sinθ cosθ=1±sin2θ [例題5] (1)已知 0<θ<π5 求 cos3θ=? (2)請求出cos3θ−cos3θcosθsinθ (e)tanθ+cotθ= 22, sinθ=4 − sin3θ+sin3θ 之值。 Ans: (a)−117125 (b)3 ( 練習1 ) 設π2<θ<π且 sinθ=3Ans: sin2θ=-245, 求 sin2θ及 sinθ25, sinθ2=2、 sin3θ的值。 310、 sin3θ=117125 ( 練習2) π <θ <3π2, 且 tanθ =34, 則 sinθ2 = , cosθ2 = 。 Ans:310 ,−110 ( 練習3) 設 cos2θ=t, 試以 t 表示 4(cos6θ−sin6θ)=? Ans: t3−3t ( 練習4) 設π2<θ <π , 且 3sin2θ−sinθ cosθ −2cos2θ =0, 則 sin2θ +cos2θ = 。 Ans:−713 ( 練習5) 設 sinx=3cosx, 則 cos2x= , sin2x= 。 Ans:−45,35 ( 練習6) −π2<θ <π則(1)sin2θ = (2)cos2θ = , (3)sin3θ +cos3θ = 。 Ans: (1)−1516(2)128 2, 且 sinθ+cosθ=14, 3116 (3)47( 練習7) 若5π4<θ<3π2, sin2θ=a, 則 sinθ −cosθ = 。 Ans: −1+a (乙)澳门美高梅官网的應用 [例題6] 試求 sin18°的值。 Ans:451 +− [例題7] 求158cos154cos152cos15cosππππ之積。 Ans:−116 ( 練習8) 利用 sin18°的值求出 cos36°的值。 Ans: cos36°= 5+12 ( 練習9) 設 f(x)=4x3−3x+1, 則 f(x)被 x−sinπ9除後所得的餘式= 。 Ans: 1−32 (提示: 利用三澳门美高梅官网) ( 練習1 0) 求下列的值: (1)cos20°cos40°cos80° (2)cosπ7cos3π7cos5π7 Ans: (1)18 (2)−18 ( 練習1 1) 如圖, 假設正五邊形的邊長為 a, 請求出對角線AC的長度。 Ans:5+12a 註:5+12稱為黃金比例數 EABCD 綜合練習 AB =2,BC =5, 則 sin2θ = 。 (1) 如圖, θ為一個有向角,(2) 設 cosθ=35且3π5<θ<2π, 求(a)sin2θ (b)sin3θ (c)cosθ2 (3) 設 0<α<π2, 0<β<π2, 且 cosα=112 (c)cos2α+β61, sinβ=45, 請求出 (a)cos(α−β) (b)sin2α−β2。 (4) 下列何者為 8x3−6x+1=0 之根? (A) sin10° (B) sin30° (C) sin130° (D) sin160° (E)sin250° 。 (5) 設 0<α<π2, 0<β<π2,若 sinα=45,cosβ=513則(A)0<α +β <π2 (B)tan(α−β)=−1663(C)cosα2 = 2 55 (D)sin2β= 120(6) 求 y=2sin2x 的週期。 169 (7) 化簡87sin85sin83sin8sin4444π+π+π+π= 。 (8) 化簡−cos2θ +cos2(π6+θ )+cos2(π6−θ )= 。 (9) 若 sinx= 5−12 , 請計算 sin2(x−π4)=? (10) 設 tanθ2=x, 試以 x 表示 cos2θ 。 (11) 設 sinθ +cosθ = 2, 求 tanθ2之值。 (12) 設 0<α <π2, 試化簡 1+sinα − 1−sinα 。 (13) 設 x2−(tanθ +cotθ )x+1=0 有一根 2+ 3, 求 sin2θ = 。 (14) 2x2+ax−1=0 有一根為 sin30°+cos30°, 求 a 的值。 (15) 以 x-cos40。除 f(x)=3x-4x3之餘式為 。 (16) 化簡94cos93cos92cos9cosππππ。 (17) 設π